Kapitel 4 Modellierung
4.1 Methodischer Ansatz
4.1.1 Zielgröße und Anforderungen an das Modell
Ziel der Regressionsanalyse ist es, die ortsübliche Nettokaltmiete je Quadratmeter zu erklären. Diese bildet die Zielvariable des Modells, auch abhängige Variable genannt. Das Modell soll als Prognosemodell dienen, um die ortsüblichen Vergleichsmieten auch für dem Modell “unbekannte” Wohnungen möglichst gut zu schätzen. Die wichtigsten Anforderungen an das Regressionsmodell lassen sich zu folgenden wichtigen Punkten zusammenfassen:
- Gute Prognoseleistung in Bezug auf unbekannte Daten
- Hohe Anpassungsgüte, d.h. gute Erklärung der in der Stichprobe enthaltenen Zusammenhänge
- Möglichst sparsame Modellierung; das Modell soll verständlich bleiben
- Vermeiden von Unteranpassung (Underfitting) und Überanpassung (Overfitting) des Modells an den Trainingsdatensatz
Underfitting und Overfitting sind Probleme, die bei der Erstellung von Regressionsmodellen auftreten können und vermieden werden sollen. Underfitting bedeutet, dass das Modell zu einfach ist und die relevanten Muster in den Trainingsdaten nicht oder nur unzureichend erlernt hat. Das Modell ist in diesem Fall nur schlecht auf neue Daten hin anzuwenden. Overfitting bedeutet, dass das Modell zu komplex ist und neben den tatsächlichen Beziehungen zwischen den Variablen auch die zufälligen Fehler in der Grundgesamtheit durch zu exakte Abbildung des Trainingsdatensatzes erklärt. Das Modell ist in diesem Fall sehr gut an die Trainingsdaten angepasst, durch eine zu hohe Zahl an Merkmalen aber nicht gut auf neue Daten anzuwenden. Abbildung 4.1 visualisiert diese Problematik stark vereinfacht für die Kombination zweier Variablen.
Ziel ist es, ein robustes Modell zu erstellen, das weder zu einfach noch zu komplex ist, sondern die Beziehungen zwischen den Variablen im Datensatz ausreichend abbildet. Solch ein Modell heißt robust, weil es sowohl eine gute Anpassung an die Trainingsdaten hat, wie auch gut auf neue Daten hin anzuwenden ist. Um zu einem robusten Modell zu kommen, müssen verschiedene Modelle mit unterschiedlicher Komplexität verglichen werden und ihre Leistung jeweils mit unabhängigen Daten (Validierungsdaten) bewertet werden. Für den ersten Mietspiegel der Stadt Wolfsburg wurde ein multiples lineares Regressionsmodell gewählt.
4.1.2 Regressionsformel und Begrifflichkeiten
Die Grundstruktur des multiplen linearen Regressionsmodells ergbibt sich wie folgt:
\[ m_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \gamma_1 z_{i1} + \gamma_2 z_{i2} \cdots + \varepsilon_i \]
| \(i\) | Nummer des Datensatzes |
| \(m_i\) | Grundmiete [Euro / m²] |
| \(\beta_0\) | Konstante/Grundbetrag des Regressionsmodells [Euro / m²] |
| \(\beta_1\), \(\beta_2\), … | Koeffizienten der wohnwertrelevanten Merkmale [Euro / m²] |
| \(x_{i1}\), \(x_{i2}\), … | Wohnwertmerkmale |
| \(\gamma_1\), \(\gamma_2\),… | Koeffizienten für außergesetzliche Merkmale |
| \(z_{i2}\), \(z_{i2}\),… | Außergesetzliche Merkmale |
| \(\varepsilon_i\) | Residuum |
Der Grundbetrag des Regressionsmodells, hier auch als Grundmiete bezeichnet, bildet den Wert ab, den die Zielvariable im Modell hat, wenn alle Koeffizienten den Wert 0 haben, die Wohnwertmerkmale also in die jeweilige Referenzklasse fallen (vgl. Kap. 4.2.3). Die Grundmiete ist damit auch der Ausgangspunkt für die Berechnung des Mietspiegels anhand der Mietspiegelbroschüre oder mit Hilfe des Mietspiegelrechners und ist für alle Wohnungen gleich.
Die Koeffizienten des Regressionsmodells bilden die Zu- bzw. Abschläge in Euro pro Quadratmeter, die anhand der jeweiligen Wohnwertmerkmale auf die Grundmiete addiert werden. Im finalen Modell sind lediglich statistisch signifikante Wohnwertmerkmale enthalten. Die statische Signifikanz ist hilfreich, um zu bestimmen, ob ein beobachteter Effekt wahrscheinlich zufällig ist oder nicht. Im Kern geht es um die Bewertung der Irrtumswahrscheinlichkeit. Wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit unter den häufig verwendeten Schwellenwert von 5% fällt, wird das Ergebnis als statistisch signifikant angesehen. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers bei der Ablehnung der Nullhypothese, also der Annahme, es gäbe keinen Effekt, gering ist. Statistische Signifikanz liefert daher wichtige Einsichten, ob ein beobachtbarer Effekt in den Daten als real bzw. verlässlich angesehen werden kann oder nicht. Die statistische Signifikanz wird mit Hilfe von p-Werten berechnet.
Das Signifikanzniveau unterteilt die Signifikanz der wohnwertrelevanten Merkmale (oder Koeffizienten) nach 3 Schwellenwerten, die zumeist mit p-Wert*, p-Wert** und p-Wert*** gekennzeichnet werden:
- p-Wert < 0,05*: signifikant (Schwellenwert für Signifikanz im Wolfsburger Mietspiegel 2024)
- p-Wert < 0,01**: sehr signifikant
- p-Wert < 0,001***: hoch signifikant
Die Residuen spielen eine entscheidende Rolle bei der Analyse und Bewertung von Mietspiegelmodellen. Sie repräsentieren die Differenzen zwischen den tatsächlichen und den durch das Modell geschätzten Mieten. im Wesentlichen dienen die Residuen als Indikatoren dafür, wie gut das Modell die Mieten vorhersagt. Wenn die Residuen klein sind, deutet dies darauf hin, dass das Modell die tatsächlichen Mieten ziemlich genau abbildet. Große Residuen hingegen weisen auf mögliche Mängel im Modell hin, da sie anzeigen, dass es deutliche Unterschiede zwischen den vorhergesagten und den realen Mieten gibt.
Um die Anforderungen an Anpassungsgüte und Prognoseleistung des Modells zu bewerten, werden verschiedene Maßzahlen verwendet, die zum Einen die Komplexität und den Erklärungsgehalt des Modells (Bestimmtheitsmaß R², adjustiertes Bestimmtheitsmaß Adj. R², Akaike Informationskriterium AIC), als auch die Genauigkeit der Vorhersagen (mittlerer absoluter Prognosefehler bzw. Mean Absolute Error MAE, Wurzel des mittleren quadratischen Fehlers bzw. Root Mean Square Error RMSE) berücksichtigen.
Das Bestimmtheitsmaß R² ist eine statistische Kennzahl, welcher den Prozentsatz der Variabilität in der abhängigen Variable beschreibt, der durch das lineare Modell bzw. die unabhägigen Variablen erklärt wird. Das angepasste Bestimmtheitsmaß berücksichtigt die Anzahl der unabhängigen Merkmale im Modell und “bestraft” das Hinzufügen weiterer Merkmale im Modell. Damit können Modelle mit einer unterschiedlichen Anzahl von unabhängigen Merkmalen verglichen werden.
Beim AIC handelt es sich um ein Maß für die Anpassungsgüte eines statistischen Modells, das sowohl die Komplexität des Modells als auch seine Anpassung an die Daten berücksichtigt. Niedrigere AIC-Werte deuten auf ein besseres Modell hin.
Der mittlere quadratische Fehler (MSE) und die Wurzel des mittleren quadratischen Fehlers (RMSE) sind statistische Auswahlkriterien, die zur Evaluierung der Modellleistung genutzt werden. MSE und RMSE helfen dabei, die Differenz zwischen tatsächlichen Werten und den durch das Modell vorhergesagten Werten, sprich die Prognoseleistung zu messen. Das finale Modell soll möglichst niedrige Werte für MSE wie auch für RMSE aufweisen, was auf eine bessere Modellanpassung hindeutet.
4.2 Einzelschritte Modellierung
4.2.1 Aufteilung Trainings-, Validierungs- und Testdatensatz
Um ein Regressionsmodell zu erstellen, das die Anforderungen möglichst gut erfüllt, wurde der modellierungsrelevante Datenbestand (Auswertungsgrundgesamtheit abzüglich Ausreißer) in drei Datensätze aufgeteilt: Trainings-, Validierungs- und Testdatensatz. Dabei umfasst der Trainingsdatensatz 60% des modellierungsrelevanten Datenbestandes, Validierungs- und Testdatensatz jeweils 20%. Dieses Verfahren ist ein in der Datenwissenschaft weit verbreitetes Konzept zur Erstellung und insbesondere Validierung von sogenannten Supervised Learning (Überwachtes Lernen) Algorithmen, zu denen auch die Regressionsverfahren zählen. Die Größe der unterschiedlichen Datensätze ist dabei ein Kompromiss zwischen Verfügbarkeit von Daten und der Notwendigkeit, das Modell ausreichend zu testen und zu validieren. Mit der Aufteilung 60/20/20 wurde sichergestellt, das die jeweilige Stichprobengröße die Anforderungen nach § 8 Abs. 1 in Verbindung mit § 11 Abs. 3 MsV erfüllt.
Die einzelnen Teildatensätze kommen zu unterschiedlichen Zeitpunkten und Zwecken im Rahmen der Modellierung zum Einsatz:
Trainingsdatensatz (n = 1.779):
- Erstellen und Trainieren mehrerer multipler Regressionsmodelle
- Analyse des Einflusses und der Wirkrichtung aller erhobenen Merkmalsausprägungen
- Variablenauswahl und Gruppierung / Bildung von Kombinationsmerkmalen
Validierungsdatensatz (n = 593):
- Validierung der Modellperformance
- Auswahl des besten Modells
- Wie gut kann ein Modell unbekannte Wohnungen prognostizieren?
- Wie stabil ist ein Modell?
Testdatensatz (n = 593):
- Test des finalen Modells
- Bestimmung der Anpassungsgüte des Modells
- Berechnung der Spannen
Die Funktion initial_split() aus dem Paket rsample (Frick et al. (2023)) in der Software R wurde verwendet, um die Nettostichprobe zufällig in drei Datensätze aufzuteilen. Die Funktion nimmt als Argumente die Nettostichprobe und die gewünschten Anteile von zwei Datensätzen (60%, 40%). Der kleinere der beiden Datensätze wurde mit der gleichen Funktion anschließend halbiert, um die Aufteilung 60%, 20%, 20% zu erreichen. Ausgegeben wird ein Vektor, der die Zugehörigkeit der Beobachtungen zu den einzelnen Datensätzen angibt. Um sicherzustellen, dass während der Modellierungsphase immer mit den jeweils gleichen Datensätzen gearbeitet wurde, wurde der Vektor, der die Zugehörigkeit der Beobachtungen zu den einzelnen Datensätzen angibt, in die Datenbank geschrieben. So konnte sichergestellt werden, dass jeder Fragebogen im gesamten Modellierungsprozess im gleichen der drei Datensätze enthalten war.
4.2.2 Explorative Regressionsmodelle
Im Rahmen dieser ersten Phase der Modellierung lag der Fokus auf dem Erkenntnisgewinn zu Einfluss und Wirkrichtungen möglicher wohnwertrelevanter Merkmale. Außerdem ermöglichten die ersten Modelle Erkenntnisse zu hoch korrelierten Merkmalen und sie dienten zum Testen unterschiedlicher Klassifizierungen, z.B. von Baualtersklassen. Durch die Vielzahl von Merkmalen, die sich aus dem Fragebogen ergeben, bieten sich Themenmodelle an, um den Modellbildungsprozess inklusive der Schritte Variablen-Kodierung, Merkmalsklassifizierung und Bildung von Kombinationsmerkmalen möglichst übersichtlich und nachvollziehbar zu gestalten.
Unmittelbar vor der Erstellung der Themenmodelle wurden Fehlwerte identifiziert und entfernt, da für die Regressionsmodellierung nur vollständige Datensätze verwendet werden können. Im Anschluss wurden die Gewichte neu berechnet und es folgte die eigentliche explorative Datenanalyse für Basis- und Themenmodelle. In dieser Phase der Modellierung wurden ausschließlich die Daten aus dem Trainingsdatensatz verwendet. Dabei wurden Häufigkeitsverteilungen der einzelnen Merkmale und ihrer Ausprägungen analysiert, Korrelationen jeweils zweier Merkmale berechnet und mögliche Klassifizierungen einzelner Merkmale wie z.B. des Baualters getestet.
Das Basismodell beinhaltet im Rahmen der Themenmodelle die Basismerkmale, die in allen Modellen standardmäßig enthalten sind. Damit umfasst das Basismodell eine feste Teilmenge der Merkmale, die innerhalb der Themenmodelle berücksichtigt werden, bspw. Baualter und Wohnfläche. Die Berechnung der Regressionsmodelle wurde mit der Software R und der Funktion lm() aus dem Base Paket (R Core Team (2016)) durchgeführt. Alle Analyseschritte wurden dokumentiert, gespeichert und die Ergebnisse in die Datenbank zurückgespielt, um die Dokumentationspflichten über die MsV hinaus zu gewährleisten.
Umgang mit Multikollinearität
Zwei oder mehr hoch korrelierte unabhängige Merkmale verursachen in Regressionsmodellen verschiedene Probleme, die unter dem Begriff Multikollinearität zusammengefasst werden. So ist ein Hauptziel von Regressionsmodellen, die Beziehungen jedes unabhängigen Merkmals mit dem abhängigen Merkmal (hier die Zielvariable “Ortsübliche Vergleichsmiete in Euro pro Quadratmeter”) zu ermitteln. Gibt es innerhalb eines Modells hoch korrelierte Merkmale, können die Koeffizienten eines Merkmals nicht mehr genau bestimmt werden, da unklar ist, welcher Anteil der Variabilität in den Daten genau von welchem Merkmal erklärt werden soll. Auswirkungen hat das auch auf die statistische Signifkanz, die dann nicht mehr mit Gewissheit interpretiert werden kann. Eine gewisse Multikollinearität ist in jedem multiplen Regressionsmodell vorhanden; das Ziel ist es, diese möglichst gering zu halten.
Die Korrelationsanalyse von jeweils zwei unabhängigen Merkmalen kann erste Hinweise auf vorhandene Multikollinearität geben. Da es sich bei den Merkmalen um kategoriale Variablen handelt, wurde Cramer V als Maß für den Zusammenhang zweier Merkmale verwendet. Cramer V nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, wobei 0 keinen Zusammenhang und 1 einen perfekten Zusammenhang anzeigt. Cramer V wurde mit der Funktion CramerV() aus dem Paket DescTools (Signorell (2023)) in R berechnet. Der Cramer V bietet den Vorteil, dass Zusammenhänge zwischen allen Ausprägungen der zwei Merkmale einzeln ausgegeben werden. Je nach Anzahl der Ausprägungen der Merkmale bietet es sich an, diese der Übersichtlichkeit halber zu visualisieren. Dazu wurden Sankey Diagramme erzeugt, die lediglich signifikante Zusammenhänge enthalten und Cramer V Werte ab einem bestimmten Schwellenwert, bspw. 0,3 oder 0,5. So gab es bspw. eine starke Korrelation von Fußbodenheizung und Baujahr ab 2010, die dafür sorgte, dass die Fußbodenheizung nicht signifikant wurde.
Ein zweiter Test auf Multikollinearität, der alle unabhängigen Merkmale eines Modells gemeinsam betrachtet, ist die Berechnung des Variance Inflation Factors (VIF) bzw. des Generalized Variance Inflation Factors (GVIF) für kategoriale Merkmale. Dabei wird gemessen, wie sehr die Varianz einer erklärenden Variable aufgrund von Multikollinearität erhöht wird. Ein hoher GVIF (üblicherweise Werte über 5 oder 10) deutet darauf hin, dass die betreffende Variable stark mit anderen erklärenden Variablen im Modell korreliert ist. Ist dies der Fall, kann die Multikollinearität reduziert werden, indem man Variablen aus dem Modell entfernt, Kombinationsmerkmale bildet oder unterschiedliche Klassifizierungen testet.
Ein konkretes Beispiel, wo der GVIF im Wolfsburger Mietspiegel reduziert werden musste, waren die Baualtersklassen. Die ersten Modelle mit einer Vielzahl an Baualtersklassen wiesen zu hohe GVIF Werte auf, so dass die Baualtersklassen in einem ersten Schritt reduziert wurden und im Verlauf der Modellierungsphase noch mit dem Denkmalschutz kombiniert wurden.
4.2.3 Variablen-Kodierung
Die meisten Merkmale aus der Befragung liegen in dichotomer Form vor, also mit den Ausprägungen Ja/Nein. Die Kodierung dieser Variablen wurde einheitlich mit Ja = 1 und Nein = 0 vorgenommen, wobei die “Nein”-Antworten jeweils die Referenzklasse bildeten. Die Referenzklasse ist die Kategorie eines Merkmals, die als Basispunkt angenommen wird und gegen den die anderen Kategorien in der Regression analysiert werden. Für Merkmale mit mehr als einer Ausprägung wurden Dummy-Variablen gebildet, mit einer Kategorie als Referenz.
4.2.4 Klassenbildung
Obgleich es grundsätzlich möglich ist, metrische oder ordinal skalierte Variablen direkt in das Modell einzubeziehen, führt dies häufig zu komplexeren Modellen, die in der Praxis schwieriger anzuwenden sind. Eine alternative Methode ist die Abgrenzung passender Klassen mit Berücksichtigung von Beziehungen zwischen diesen Variablen und z.B. anderen hoch korrelierten Variablen. Anzahl der Klassen und Grenzen wurden zunächst mit Hilfe von funktionalen Kriterien festgelegt. Diese Klassen wurden während des Modellierungsprozesses iterativ angepasst, um die Erklärungs- und Vorhersagefähigkeit des Modells zu verbessern.
Wohnflächenklassen
Bei den Wohnflächenklassen orientiert sich die Klassenbildung an der hoch korrelierten Anzahl der Zimmer. In Abbildung 4.2 ist die finale Abgrenzung in fünf Klassen graphisch aufgetragen. Die Abgrenzungen erfolgten bei den Grenzen 45, 60, 90 und 105 m². Die Referenzklasse bildet die mittlere und am häufigsten vorhandene Klasse zwischen 60 bis 89 m².
Baualtersklassen
Bei der Ableitung von Baualtersklassen wurde in einem ersten Schritt eine Wendepunktanalyse durchgeführt. Während der Modellierung zeigte sich eine hohe Multikollinearität des Baujahres mit anderen Merkmalen, was durch schrittweise Zusammenfassung der Klassen reduziert werden konnte. Weiterhin zeigte sich, dass eine Kombination des Baualters mit dem Denkmalschutz für Gebäude, die vor dem Jahre 1961 errichtet wurden, das Modell weiter optimiert hat. Die am Ende verhältnismäßig geringe Anzahl der Baualtersklassen spiegelt sowohl das geringe Alter der Stadt Wolfsburg, als auch den hohen Anteil an Wohnungen, die von wenigen Großvermietern verwaltet werden, wider.
4.2.5 Kombination von Einzelmerkmalen
Aus unterschiedlichsten Gründen kann es sich anbieten, einzelne Merkmale miteinander zu kombinieren. So kann die Kombination von Merkmalen helfen, die Multikollinearität zu reduzieren, lokale Gegebenheiten besser abzubilden, die Modellkomplexität zu reduzieren oder dem Vorhandensein von Fehlwerten durch das Zusammenfassen ähnlicher Merkmale entgegenzuwirken. Dabei ist immer zu beachten, dass sinnvolle Merkmalskombinationen gebildet werden und die Auswirkungen auf das Modell jeweils geprüft und bewertet werden.
4.2.6 Ablauf Modellierung
Nach den Vorarbeiten zum Basismodell, zu den Themenmodellen, der Variablenkodierung, den Klassenbildungen und dem Erzeugen der ersten Kombinationsmerkmale wurde das erste Gesamtmodell erzeugt. Der Weg hin zum finalen Regressionsmodell ist ein iterativer Prozess, der verschiedene Schritte mit Hilfe des Trainings- bzw. des Validierungsdatensatzes umfasst (siehe Abb. 4.3).
Als Erstes wird das Regressionsmodell mit Hilfe der Trainingsdaten berechnet. Nun werden die Grundannahmen der linearen Regression geprüft. Dabei sollen die p-Werte der Merkmale unter der Signifikanzschwelle von 0,05 liegen und die Wirkrichtung der Koeffizienten soll logisch sein. Des Weiteren wird geschaut, in welchem Ausmaß Multikollinearität vorhanden ist und ob die Residuen normalverteilt sind. Sind die Residuen normalverteilt, deutet dass auf zuverlässige und effiziente Schätzungen der Koeffizienten hin. Eine Abweichung von dieser Grundannahme kann auf Probleme im Modell hinweisen wie nicht-lineare Beziehungen zwischen unabhängigen und der abhängigen Variablen, Fehlen von wichtigen erklärenden Variablen oder Heteroskedastizität (ungleiche Varianz der Residuen).
Ein Phänomen, welches innerhalb des Modells auftreten kann, ist das Vorhandensein von statistischen Hebelwerten/Ausreißern. Um diese zu identifizieren, wird geschaut, welchen Einfluss einzelne Beobachtungen auf die gesamte Regressionsgleichung haben. Dabei weist ein hoher Hebelwert darauf hin, dass die entsprechende Beobachtung sehr unterschiedlich von den anderen Datenpunkten ist, sei es wegen eines oder mehrerer ungewöhnlicher Werte oder einer Kombination von Werten, die selten vorkommen. Diese Beobachtungen können die Schätzergebnisse der Regressionsanalyse verzerren und müssen deshalb gesondert untersucht werden. In diesem Zusammenhang wurden Cook`sche Distanzen berechnet, die Informationen über Hebelwerte und die Residuen einer Beobachtung kombinieren. Das hilft dabei, zu beurteilen, wie stark der Einfluss eines einzelnen Datenpunktes auf die geschätzten Modellkoeffizienten ist. Ein hoher Wert für die Cooksche Distanz deutet darauf hin, dass das Entfernen oder Ändern dieser spezifischen Beobachtung einen signifikanten Einfluss auf die Ergebnisse des Modells haben würde. Hebelwerte wurden sukzessive aus dem Modell entfernt, bis dieses sich als stabil erwiesen hat. Insgesamt wurden acht Hebelwerte identifiziert und aus dem Trainingsdatensatz entfernt.
Nach Prüfung der Grundannahmen für ein lineares Regressionsmodell wird jedes Modell auf unbekannte Daten des Validierungsdatensatzes hin angewendet, um die Prognoseleistung des Modells einschätzen zu können. Dafür werden für beide Modelle die Bestimmtheitsmaße wie auch die Gütemaße der Prognoseleistung berechnet und verglichen. Je näher die Bestimmtheitsmaße der Modelle beieinander liegen, umso besser ist die Prognoseleistung. Ist der Erkärungsgehalt auf dem Validierungsdatensatz deutlich geringer als auf dem Trainingsdatensatz, ist das ein Hinweis auf Overfitting des Modells. Gibt es einen geringen Erklärungsgehalt auf beiden Datensätze, ist das ein Hinweis auf Underfitting.
Nach Durchführung dieser Schritte wurden jeweils verschiedene Anpassungen unternommen, diese dokumentiert und der Vorgang wiederholt. Diese Anpassungen umfassen das Entfernen von Merkmalen aus dem Modell (wegen Insignifikanz oder unplausiblen Wirkrichtungen), das Entfernen von Hebelwerten, Umkodierungen von Variablen, Anpassungen bei der Klassenbildung oder Kombination von Einzelmerkmalen.
4.2.7 Außergesetzliche Merkmale
Im Prozess der Modellbildung wurden neben den in § 558 Abs. 2 BGB definierten wohnwertrelevanten Merkmalen auch außergesetzliche Merkmale (AGM) berücksichtigt. Das Heranziehen der außergesetzlichen Merkmale ist in § 14 MsV geregelt. Diese dürfen zur Wahl des Regressionsmodells und für die Bemessung von Mietpreisspannen herangezogen werden. Im finalen Modell werden die AGM nicht ausgewiesen.
Durch die Berücksichtigung der außergesetzlichen Merkmale im Modellbildungsprozess sollen Verzerrungen vermieden werden, die durch relevante, aber fehlende Merkmale auftreten können. Diese Merkmale verursachen bei kompletter nicht-Berücksichtigung den sogenannten Omitted Variable Bias. Im Wolfsburer Mietspiegel 2024 wurden die außergesetzlichen Merkmale “Vermieterklasse” und “Vertragslaufzeitklasse” herangezogen. die Ausprägungen der Vermieterklasse umfassen die Großvermieter sowie sonstige und private Vermieter. Die Vertragslaufzeitklassen umfassen die folgenden Abstufungen: <= 1 Jahr, > 1 Jahr <= 3 Jahre, > 3 Jahre <= 5 Jahre, > 5 Jahre <= 7 Jahre und > 7 Jahre. Innerhalb des Modells sind beide Merkmale hoch signfikant und beeinflussen die ortsübliche Vergleichsmiete in hohem Maße. So reduziert sich die Anpassungsgüte R² im Modell mit AGM, gerechnet auf dem Trainingsdatensatz, von 79,23% auf 68,87%, wenn die AGM nicht berücksichtigt werden.
Da die AGM im finalen Modell nicht ausgewiesen werden dürfen, müssen Verfahren verwendet werden, um den Informationsgehalt dieser wichtigen Merkmale dennoch nicht gänzlich zu verlieren. Es wurde ein angepasstes Imputationsverfahren, orientiert an Kauermann & Windmann (2023) durchgeführt. Ziel ist es, die Effekte der AGM im Grundwert zu integrieren. Das macht es möglich, die Einzelkoeffizienten der AGM im finalen Modell zu entfernen.
Die Regressionskoeffizienten für Vermieterklasse und Vertragslaufzeitklassen wurden für jeden Fragebogen im Trainingsdatensatz ermittelt und mit dem normierten Non-Response-Gewicht (NRP-Gewicht) für den jeweiligen Fragebogen multipliziert. Anschließend wird das arithmetische Mittel dieser gewichteten Effekte für alle Fragebögen berechnet, jeweils für Vermieterklasse und Vertragslaufzeitklasse. Ergebnis ist der mittlere gewichtete Effekt der beiden AGM im Trainingsdatensatz.
Durch die gewichtete Mittelung ergeben sich folgende Effekte für die AGM:
- Vermieterklasse: +0,32 €/m²
- Vertragslaufzeit: -0,80 €/m²
Für die Berücksichtigung der AGM werden diese beiden gewichteten Mittelwerte auf den Grundbetrag des Modells aufaddiert. Das entspricht im Prinzip einer Mittelwertimputation der AGM für alle Wohnungen, auf die der Mietspiegel angewendet wird. Der finale Grundbetrag ist dann:
6,83 €/m² + 0,32 €/m² + -0,80 €/m² = 6,35 €/m²
Anschließend werden die Koeffizienten aller AGM auf 0 gesetzt. Die Koeffizienten der gesetzlichen Merkmale bleiben unverändert. Durch die Schätzung des Modells mit AGM und dem anschließendem Herausrechnen der mittleren gewichten Effekte ist eine verzerrungsfreie Schätzung der Regressionskoeffizienten gewährleistet und der Omitted Variable Bias kann minimiert werden. Die Verwendung des gewichteten arithmetischen Mittels ermöglicht die Berücksichtung der Verteilung der Merkmalsausprägung der AGM innerhalb der Stichprobe. Weiterhin sorgt die Berücksichtigung der normierten Non-Response-Gewichtung dafür, dass eine systematische Verzerrung aufgrund unterschiedlicher Teilnahmewahrscheinlichkeiten durch den Befragungsweg (Großvermieter- und Mieterbefragung) in der bereinigten Nettostichprobe ausgeglichen wird.
4.3 Ergebnisse
4.3.1 Auswahl des finalen Modells
Nach zahlreichen Iterationen wurde im letzten Schritt das finale Modell anhand gängiger statistischer Auswahlkriterien ausgewählt. Dazu wurden die Modelle mit Hilfe der Bestimmtheitsmaße R², AIC, MSE und RMSE untereinander verglichen. Nach sorgfältiger Überprüfung und Abwägung dieser Kriterien enthält das finale Modell die optimale Balance zwischen Anpassungsgüte und Modellkomplexität. Nach Auswahl des finalen Modells wurde die abschließende Modellbewertung mit Hilfe des Testdatensatzes durchgeführt, der vorher nicht zur Modellauswahl verwendet und somit unabhängig vom bisherigen Modellierungsprozess ist.
Die Anzahl an Fragebögen, mit denen das finale Modell gerechnet wurde, beträgt für den Trainingsdatensatz 1.634, für den Validierungsdatensatz 554 und für den Testdatensatz 549 Fragebögen. Die Abweichung zum modellierungsrelevanten Datenbestand (2.965 Fragebögen) ergibt sich durch Fehlwerte, die im Modell nicht berücksichtig werden können.
Der Erklärungsgehalt des finalen Modells nach Mittelwertimputtation der AGM erreicht für die während des Modelltrainings verwendeten Trainingsdaten einen Wert von 0,69. Das bedeutet, das 69% der Varianz der Mieten pro m² im Trainingsdatensatz erklärt werden können. In der Anwendung auf den für das Modell unbekannten Testdatensatz verringert sich der Erklärungsgehalt R² auf 0,66. In Abbildung 4.4 sind für den Trainings- und den Testdatensatz die tatsächlichen Mieten in €/m² den geschätzten ortsüblichen Vergleichsmieten aus der Modellierung gegenübergestellt.
In den Tabellen 4.2 bis 4.4 sind die Ergebnisse des finalen Modells für den Grundbetrag wie auch für die einzelnen Wohnwertmerkmale angegeben. Da durch die Variablen-Kodierung eine der Merkmalsausprägungen als Referenzkategorie angegeben werden muss, haben einige Einträge einen Koeffizienten von Null. Für diese Ausprägungen gibt es weder einen Zu-, noch einen Abschlag. Weiterhin können für diese Ausprägungen keine p-Werte berechnet werden.
Die Wohnlage ist kein wohnwertrelevantes Merkmal im finalen Modell, da keine statistische Signifikanz gegeben war. Geprüft wurden auch alle Einzelmerkmale, die für die Erstellung der Wohnlage verwendet wurden. Als einziges Einzelmerkmal mit direkten Bezug zur Wohnlage ist die “Lage im Hauptzentrum der Innenstaddt oder in den Subzentren Fallersleben oder Vorsfelde” im Modell signifikant. Im Anhang ist die Methodik zur Erstellung der Wohnlage verlinkt (siehe Anhang), aufgrund der fehlenden Signifikanz im Modell allerdings ohne Wohnlagenverzeichnis (siehe § 19 Abs. 1 MsV).
4.3.2 Grundbetrag, Baujahr und Wohnfläche
| Merkmal | Koeffizient | p-Wert |
|---|---|---|
| Grundbetrag | 6,35 | 0,0000*** |
| Baujahr vor 1961 und Gebäude steht unter Denkmalschutz | 0,19 | 0,0095** |
| Baujahr vor 1961 und Gebäude steht nicht unter Denkmalschutz ODER Baujahr zwischen 1961 und 1999 | 0,00 | NA |
| Baujahr ab 2000 | 1,50 | 0,0000*** |
| Wohnfläche unter 45 Quadratmeter | 0,75 | 0,0000*** |
| Wohnfläche 45 bis 59 Quadratmeter | 0,19 | 0,0000*** |
| Wohnfläche 60 bis 89 Quadratmeter | 0,00 | NA |
| Wohnfläche 90 bis 104 Quadratmeter | -0,33 | 0,0004*** |
| Wohnfläche 105 oder mehr Quadratmeter | -0,44 | 0,0018** |
4.3.3 Ausstattung
| Merkmal | Koeffizient | p-Wert |
|---|---|---|
| Hänge-WC | 0,22 | 0,0000*** |
| Bodengleiche/ebenerdige Dusche (Kante bis max. 2 cm) | 0,30 | 0,0000*** |
| Handtuchheizkörper | 0,31 | 0,0000*** |
| Fenster zur Lüftung im Bad | 0,17 | 0,0001*** |
| Küchenraum ist Teil eines Wohnraumes (offene Küche) und Baujahr des Gebäudes vor 2000 | 0,17 | 0,0202* |
| Küchenraum mit 10 oder mehr Quadratmeter Fläche | 0,13 | 0,0160* |
| Einbauküche (Keine Mini-/Single-/Pantryküche) vom Vermieter gestellt | 0,61 | 0,0000*** |
| Kein vom Vermieter gestellter Fußbodenbelag in Wohn- und Schlafräumen (überwiegend) | 0,00 | NA |
| Fußbodenbelag in Wohn- und Schlafräumen (überwiegend) vor 2013 verlegt oder erneuert | 0,11 | 0,0412* |
| Fußbodenbelag in Wohn- und Schlafräumen (überwiegend) seit 2013 verlegt oder erneuert | 0,54 | 0,0000*** |
| Balkon/Loggia mit mind. 2 Metern Tiefe | 0,20 | 0,0025** |
| Dachterrasse | 0,62 | 0,0011** |
| Gegensprechanlage mit Video und Baujahr des Gebäudes ab 2010 | 1,04 | 0,0000*** |
4.3.4 Beschaffenheit und Lage
| Merkmal | Koeffizient | p-Wert |
|---|---|---|
| Wohnungseingangstür ist vom Gehweg aus ohne die Überwindung von Stufen oder Schwellen erreichbar | 0,14 | 0,0475* |
| Überwiegend Fenster mit Dreifachverglasung | 0,37 | 0,0005*** |
| Sanitärbereich (Sanitärobjekte und Oberflächen) seit 2013 erneuert | 0,17 | 0,0146* |
| Nachträgliche Dämmung sämtlicher Außenwände 2010 oder später | 0,18 | 0,0020** |
| Überwiegend dezentrale Warmwasserversorgung (z.B. Durchlauferhitzer/Boiler oder Kombitherme) | -0,20 | 0,0023** |
| Wasser-, Heizungs-, Gas- oder Elektroleitungen / Elektroinstallationen liegen über Putz | -0,23 | 0,0028** |
| Lage im Hauptzentrum der Innenstadt oder in den Subzentren Fallersleben oder Vorsfelde | 0,16 | 0,0007*** |
4.3.5 Diagnose des finalen Modells
Wie in Kapitel 4.2.6 beschrieben, wurden alle Modelle während des Modellierungsprozesses einer umfangreichen Diagnose unterzogen. Auch beim finalen Modell wurde eine Modelldiagnose durchgeführt, um sicherzustellen, dass die Grundannahmen der linearen Regression erfüllt sind, Überanpassung vorgebeugt wird und um die Generalisierbarkeit des Modells auf neue Daten sicherzustellen.
4.3.5.1 Residualanalyse
Die erste Grundannahme der linearen Regression, die überprüft wurde, ist die Normalverteilung der Residuen. Eine annähernde Normalvereilung deutet darauf hin, dass das Modell die Daten gut abbildet und die Residuen lediglich die verbleibende Reststreuung abbilden. In Abbildung 4.5 sind die Residuen als Histogramm für Trainings- und Testdatensatz dargestellt. Die Residuen sind annähernd normalverteilt, weisen aber eine etwas breitere Flanke nach rechts auf; die Verteilung ist also leicht rechtsschief. Das ist nicht ungewöhnlich für Datensätze, die sich auf Wohnungen beziehen und bildet die stärkere Streuung größerer Wohnungen im Datensatz ab.
4.3.5.2 Multikollinearität
Wie im Kap. 4.2.2 schon erläutert wurde, sollte der Einfluss der Multikollinearität möglichst gering gehalten werden. Die Korrelationen jeweils zweier Merkmale wurden im Rahmen der explorativen Regressionsmodelle mit Hilfe des CramerV untersucht und bei der Selektion der Modellvariablen schon berücksichtigt.
Im finalen Modell wurden erneut die generalisierten Varianzinflationsfaktoren (GVIF) bestimmt, die nicht über 5 bis 10 liegen sollten. Die GVIF wurden sind in Abbildung 4.6 für alle wohnwertrelevanten Merkmale des finalen Modells aufgetragen. Lediglich eine Baualtersklasse liegt über 5, aber noch unter 10. Alle anderen wohnwertrelevanten Merkmale haben einen GVIF von kleiner 5.
4.3.5.3 Homoskedastizität
Die Überpüfung der Homoskedastizität, also der Annahme, dass die Varianz der Residuen über alle Werte der unabhängigen Variablen hinweg konstant bleibt, ist ein weiterer Diagnoseschritt bei der Bewertung des Modells. Wird diese Annahme verletzt, spricht man von Heteroskedastizität.
Eine gewisse Heteroskedastizität ist bei der Analyse von Wohnungsmieten zu erwarten, da die Varianz der Mietpreise mit anderen Merkmalen wie z.B. der Wohnfläche korreliert. In Abbildung 4.7 sind die Wohnflächen und die Modellresiduen als Punktwolke aufgetragen. Hier ist eine stärkere Streuung bei kleineren Wohnungen im Trainingsdatensatz zu erkennen. Durch die zusätzliche Überprüfung der Stabilität und der Prognoseleistung des Modells mit Hilfe von Validierungs- und Trainingsdaten ist das Modell trotz eines gewissen Maßes an Heteroskedastizität praktikabel für die Anwendung. Gerade bei Prognosemodellen kann eine gewisse Heteroskedastizität akzeptiert werden.
4.3.6 Spannenberechnung
Die Vielfalt und qualitative Spannweite der mietpreisbildenden Merkmale kann durch keine empirische Erhebung vollständig abgedeckt werden. Unterschiedliche Einflüsse des Marktes auf den Mietpreis bewirken, dass für ähnliche Wohnungen verschiedene Mieten gezahlt werden. Darüber hinaus gibt es mietpreisbildende Merkmale, die z.B. aufgrund zu geringer Anzahl in der Stichprobe nicht ausgewiesen oder in der Erhebung nicht eindeutig erfasst werden können (z.B. unterschiedliche Qualitäten von Ausstattungsmerkmalen). Dennoch können diese mietpreisbildenden Merkmale im Einzelfall Einfluss auf die Miethöhe haben und selbst durch ein Regressionsmodell mit sehr hohem Erklärungsgehalt nicht abgebildet werden.
Im Regressionsmodell werden diese unterschiedlichen, nicht erklärbaren Einflüsse als Residuum ε zusammengefasst. Insbesondere bei Prognosemodellen sind gewisse Schwankungsbreiten um den Erwartungswert, im Falle des Mietspiegels um die ortsübliche Vergleichsmiete, vollkommen üblich und unvermeidbar (vgl. Kap. 4.1.1). Die Bandbreite, innerhalb derer der prognostizierte Wert der abhängigen Variablen eines Modells liegen und als robuste Schätzung angesehen werden kann, wird in der Statistik als Konfidenzintervall bezeichnet. Im Mietspiegelkontext wird der Begriff Spanne verwendet. So sieht § 16 Abs. 3 MsV vor, dass bei Regressionsmietspiegeln die Schwankungsbreite der ermittelten ortsüblichen Vergleichsmiete durch Spannen berücksichtigt werden kann. Empohlen wird dazu die Bildung eines Konfidenzintervalls auf Basis der Residuen, welches am oberen und unteren Ende der Verteilung jeweils ein Sechstel bis ein Achtel der Residuen nicht berücksichtigt. Die geschätzten Mieten mit derart hohen Abweichungen zwischen geschätzter und tatsächlicher Miete werden also als nicht vertrauenswürdig bzw. nicht ortsüblich eingeordnet. Zudem ist es gemäß § 14 Abs. 1 MsV zulässig, außergesetzliche Merkmale für die Berechnung der Spannen heranzuziehen.
Basierend auf diesen Vorgaben wurden zunächst mit Hilfe des Regressionsmodells inklusive der AGM (also vor der Mittelwertimputation der AGM) die Mieten für die Wohnungen des Testdatensatzes berechnet und die Residuen ermittelt. Die Verwendung des Testdatensatzes, welcher nicht zur Modellbildung herangezogen wurde, gewähreistet die Ermittlung praxisnaher und unverzerrter Residuen. Durch die Verwendung des Modells mit den AGM wird darüber hinaus der Einfluss der AGM auf die Streuung kontrolliert, sodass die Residuen nur den Effekt von Merkmalen abbilden, die im Modell nicht berücksichtigt wurden - deren Einflüsse also tatsächlich unbekannt sind. Da die Baualtersklassen die größte differenzierende Wirkung auf den Mietpreis in Wolfsburg haben, wurden anschließend die ermittelten Residuen in drei Gruppen entsprechend ihrer Baualtersklasse unterteilt. Für jede dieser drei Gruppen wurde anschließend eine aufsteigende Sortierung der Residuen vorgenommen und das 1/6 sowie das 5/6 Quantil für jede Baualtersklasse berechnet. Um nun die 2/3-Spanne für die ortsübliche Vergleichsmiete jeder Baualtersklasse zu erhalten, wurden die berechneten Quantile jeweils auf den Grundbetrag des finalen Regressionsmodells (also nach Mittelwertimputation der AGM) addiert. Der Spannenbereich bezieht sich somit nur auf den Grundbetrag des Modells. Die Berechnung der Zu- und Abschläge ist davon unberührt. Alle Beträge im Bereich zwischen dem unteren und oberen Spannenwert der jeweiligen Baualtersklasse können anstelle des Grundbetrags als neue Grundbeträge herangezogen werden (siehe Tab. 4.5). In Abbildung 4.8 sind die geschätzten und tatsächlichen Mieten den berechneten Spannenbereichen zugewiesen.
| Baujahr | unterer Spannenwert | oberer Spannenwert |
|---|---|---|
| 1961-1999 und vor 1961 und kein Baudenkmal | 5,87 €/m² | 6,85 €/m² |
| vor 1961 Baudenkmal | 5,72 €/m² | 7,31 €/m² |
| ab 2000 | 5,18 €/m² | 7,76 €/m² |
Die Abweichung nach unten und oben sind durch den Anwender des Mietspiegels anhand zusätzlicher, den individuellen Wohnwert bestimmender Faktoren zu begründen. Die Betrachtung muss objektiv erfolgen, d.h. positive wie negative Faktoren sind zu berücksichtigen. Entscheidend ist jedoch weiterhin, dass die zur Begründung herangezogene Ausstattung vom Vermieter gestellt wurde. Im Ergebnis steht die sogenannte Einzelvergleichsmiete, also die konkrete ortsübliche Vergleichsmiete für die betrachtete Wohnung innerhalb der Spanne. Die Feststellung der Einzelvergleichsmiete darf sich hierbei nicht grundsätzlich am höchsten Wert der Spanne orientieren, da sonst die Angabe von Spannen in einem Mietspiegel jegliche Funktion verlieren würde (vgl. BGH Karlsruhe, Urteil vom 0.04.2005 – AZ VIII ZR 110/04, m.w.N.).
4.4 Anwendung
Informationen zur Anwendung entnehmen Sie bitte dem zentralen Dokuments des Wolfsburger Mietspiegels 2024, der Mietspiegelbroschüre. Diese finden Sie auf www.wolfsburg.de/mietspiegel. Dort finden Sie zudem ausführliche Hinweise zum Geltungsbereich sowie zu Aufgaben und Zweck des Mietspiegels.